Примеры выполнения контрольной по математике

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простых дробей. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. , ;

IV.  , .

Интегралы от дробей первых двух типов - табличные интегралы:

интегрирование дробей III и IV типов рассмотрено в 10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.).

Вычислить интеграл C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.

Вычислить интеграл image266 (273 bytes)

Вычислить интеграл image273 (250 bytes)

вычислить интеграл

Вычисление несобственных интегралов

Вычислить интеграл: image55 (522 bytes)

Вычислить интеграл: image67 (488 bytes)

Вычислить интеграл: image95 (437 bytes)

Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x). Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Интегрирование рациональных функций. Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, т.е. интегралов вида

заключается в следующем (см. раздел 9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей):

1. Если дробь  неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Для этого она представляется в виде , n1<m; нахождение целой части Ln-m(x) и остатка Pn1(x) может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей.

 2. Знаменатель Qm(x) правильной дроби представляется в виде произведения

, где x1, x2, …,xs - попарно различные действительные корни этого многочлена, k1, k2, …,ks - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней  кратностей l1, l2, …,lr)  с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), k1+ k2+ …+ks +2(l1+ l2+ …+lr) = n.

 3. Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

.

 4. Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов. Применяются два способа:

 4.1. Способ частных значений. В равенство подставляются различные значения  и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни Qm(x); если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты.

 4.2. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях  многочленов слева и справа от знака равенства. При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов.

  4.3. Комбинированный способ. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4.2.