Примеры выполнения контрольной по математике

Простейшие правила интегрирования.

  ();

;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .

 Примеры применения правил 1,2:

.

и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

В этом случае аргумент y( t) изменится от 0 до 4 p (необходимо сделать чертеж). Это связано с тем, что при полном обходе окружности радиуса 2 точкой z( t) точка z2( t) обойдет окружность радиуса 4 два раза. В результате этого обхода аргумент функции z2( t)-1 изменится от 0 до 4 p. В этом примере k=0. Ответ 4 p/2=2 p. Геометрические приложения определенного интеграла

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z.

Задание кривых и областей на комплексной плоскости

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости

Геометрическое изображнение ФКП. Задание функции w = f(z) как пары u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число

Степенная функция Мы рассматриваем функцию w = z2 в верхней полуплоскости С +, несмотря на то, что она определена во всей плоскости С, по той причине, что она однолистна в этой полуплоскости

Предел ФКП

Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то .(Док-во: если , то ). Пример: .

Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то .

(Док-во: если , то ). Пример:  .

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то . Пример:  .