Примеры выполнения контрольной по математике

Ряды Тейлора и Лорана.

Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель  в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как

| z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:  , так как . Итак,

 .

Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений

Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора.

Интегральная формула Коши. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Записать разложение по степеням z функции f ( z) = ch z.

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням)

Разложитьфункцию image240 (283 bytes) в ряд Лорана по степеням z.

Найти особые точки функции. Найти разложение функции в ряд Лорана в окрестности каждой особой точки.

Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f( z) = z/( z2-2 z+5).

Примеры разложения функций в ряд Лорана. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .

Разложить функцию  в ряд Лорана по степеням .

Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана

 Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, , то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.

  Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.


Открыть сайта bagsbany.biz в обход блокировки через зазор