Примеры выполнения контрольной по математике

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) - аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).

Примеры: 1. . Здесь f(z) = ez, z0 = 3 лежит внутри круга |z - 1| = 4, поэтому .

2. . Здесь внутри круга

Вычислить интеграл , С={ x2 + y2 =2 x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

Вычислить интеграл где С – окружность | z|= r, проходимая в положительном направлении.

Для решения задач этого раздела можно использовать следующие оценки для значений модуля многочлена на окружности радиуса R.

Вычислить интеграл

L1 = { z| | z + 1| = 2} лежит точка z0 = 0, поэтому

f(z) = sin z/(z – 3) и .

3. . Здесь внутри круга

L2 = { z| | z - 2,5| = 1} лежит точка z0 = 3, поэтому f(z) = sin z/z и .

4. . Здесь внутри круга L3 = { z| |z| = 4} лежат обе точки  и , но, по следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области, .

5. . Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой  при : .