Примеры выполнения контрольной по математике

Дифференцируемость функции комплексной переменной.

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление  может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции

Примеры вычисления производных

Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области:

Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей u( x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z) и выполняется условие Коши-Римана:

Конформность дифференцируемого отображения

Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции

Может ли функция v(x, y) = e -y(xcos x - ysin x) быть мнимой частью некоторой аналитической функции w = f(z)? В случае положительного ответа найти функцию w = f(z).

Конформные отображения

Исследовать на конформность в точке z= ¥ функцию w=iz-2.

Найти угол в ¥ между действительной и мнимой осями.

Примеры. 1. f(z) = z2. В этом случае  . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.

2. f(z) = | z |2 = x2 + y2. Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке . Будем стремить  по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае ), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае ). В первом случае , во втором . Эти пределы равны, только если  . Таким образом, функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 может быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех остальных точках пределы  различны в зависимости от способа стремления , т.е.  не существует.