Примеры выполнения контрольной по математике

Теория функций комплексной переменной.

Комплексные числа.

 Определение комплексного числа.

Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i- новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i2 = -1.

 Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.

 Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

 Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью z1 = x1 + 0 i и z2 = x2 + 0 i получим z1 + z2 = (x1 + x2) + (0 + 0) i , z1 z2 = (x1x2 – 0 0) + (0 x1 + 0 x2) i, т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества.

Для операции умножения справедливы свойства

Переход от тригонометрической формы к алгебраической

Рассмотрим деление комплексных чисел

Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической (экспоненциальной ) формах

Арифметические операции c комплексными числами

 Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами ( x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.

Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x1 + x2) + (y1 + y2) i, т.е. Re(z1 + z2) = Re z1 + Re z2, Im(z1 + z2) = Im z1 + Im z2.

 Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2y1) i, т.е.

Re(z1 z2) = Re z1 Re z2 – Im z1 Im z2; Im(z1 z2) = Re z1 Im z2 + Im z1 Re z2.