Двойные интегралы в полярных координатах Двойные интегралы в произвольной области Двойные интегралы в прямоугольной области

Геометрические приложения двойных интегралов криволинейных интегралов ь поверхностных интегралов Несобственные интегралы Таблица интегралов. Интегрирование по частям Интегрирование гиперболических функций

Решение интегралов. Выполнение контрольного, курсового, типового расчета

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится. Теоремы сравнения Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).
  1. Если сходится, то также сходится;
  2. Если расходится, то также расходится;
  3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися. Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Пример

(положим тогда

Пример

(положим тогда ) =

=

(используем формулу ) =

=

= Возвращаясь к старой переменной, использовали выражение:

Замечание. В примерах 12 и 13 использовали подстановку вида: и формулу (6.1). Подстановку выбирают так, чтобы правая часть формулы (6.1) приобрела более удобный для интегрирования вид.

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить интеграл .

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить периметр единичной окружности.