Лекции и конспекты по физике Атомная и ядерная физика Практические занятия Курс лекций по ядерной энергетике

Классическая и современная квантовая оптика, атомная и ядерная физика

Щелочные металлы. Уровни энергии

Атом щелочного металла имеет Z электронов и можно считать, что (Z – 1) электронов вместе с ядром образуют сравнительно прочный остов, в электрическом поле которого движется внешний (валентный) электрон, довольно слабо связанный с остовом атома. В некотором смысле атомы щелочных металлов являются водородоподобными, однако, не полностью. Дело в том, что внешний электрон несколько деформирует электронный остов и тем самым искажает поле, в котором движется. В первом приближении поле остова можно рассматривать как суперпозицию поля точечного заряда +е, и поля точечного диполя, расположенного в центре остова. При этом ось диполя направлена все время к внешнему электрону. Поэтому движение последнего происходит так, как если бы поле остова, несмотря на искажение, сохранялось сферически-симметричным.

Это позволяет представить потенциальную энергию внешнего электрона в поле такого остова как

(13.18)

где С — некоторая постоянная.

Решение уравнения Шредингера для электрона с потенциа­льной энергией (13.18) приводит к тому, что теперь дозволенные значения энергии Е в области Е < 0 (для связанных состояний внешнего электрона) будут зависеть не только от главного квантового числа п (как в случае атома водорода), но и от орбитального квантового числа ℓ:

(13.19)

где R – постоянная Ридберга, σ ℓ — ридберговская поправка (или квантовый дефект), зависящая от l. Заметим, что у лития основным состоянием является 2s, поскольку состояние с п = 1 уже занято двумя электронами, входящими в состав остова.

Систему энергетических уровней атома принято называть и иначе – системой термов. Терм Т – это величина, определяемая как

Тn = R/n2 = |En|/ћ.

(13.20)

Энергетическому уровню (13.19) соответствует терм, имеющий согласно (13.20) вид

(13.21)

Зависимость энергии электрона от орбитального квантового числа l является принципиальным отличием уровней энергии атомов щелочных металлов от уровней энергии атома водорода. Эта зависимость означает, что в данном случае снимается вырождение по l . Физически это связано с тем, что в атомах щелочных металлов внешний электрон находится в электрическом поле атомного остова. Заряд последнего не точечный, и распределение его несколько отличается от сферически-симметричного. Электрическое поле остова уже не кулоновское (не ~ 1/r2). Благодаря этому и получается зависимость энергии Е электрона не только от п, но и от l.

Исследование спектров ионов щелочных металлов показало, что момент импульса атомного остова (т. е. ядра и Z-1 электронов) равен нулю. Следовательно, орбитальный момент атома щелочного металла оказывается равным моменту его внешнего электрона и определяется квантовым числом l.

Для l валентного электрона атомов щелочных металлов действует такое же правило отбора, как и для l электрона водородного атома, т.е.

∆l = ± 1.

(13.22)

Главное квантовое число n может изменяться на любое целое число.

 Тонкая структура спектральных линий. Исследование спектральных линий атомов щелочных металлов приборами с большой разрешающей способностью обнаружило, что эти линии являются двойными (дублетами), т. е. образуют тонкую структуру.

Спектральные линии, состоящие из нескольких компонент, называют мультиплетами. Число компонент в мультиплете различных атомов может быть равно двум (дублеты), трем (триплеты), четырем (квартеты) и т. д. В частности, спектральные линии могут быть и одиночными (синглеты).

Тонкая структура, т. е. расщепление спектральных линий, очевидно, вызвана расщеплением самих энергетических уров­ней (термов). Вместе с тем, это никак не следует из решения уравнения Шредингера. В чем же причина такого загадочного расщепления? Ответ на этот вопрос дается ниже.

Спин электрона. Мультиплетность

Собственный момент импульса электрона (спин). Расщепление спектральных линий обусловлено расщеплением энергетических уровней. Для объяснения расщепления уровней Гаудсмит и Уленбек (1925) выдвинули гипотезу о наличии у электрона собственного момента импульса Ms, не связанного с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент импульса был назван спином.

Спин ничего общего не имеет с представлением о вращающейся частице, как первоначально предполагали (отсюда и название). Спин характеризует внутреннее свойство электрона подобно массе и заряду. Выяснилось, что спин является свойством одновременно квантовым и релятивистским. Дирак (1928) показал, что спин электрона автоматически содержится в его теории электрона, основанной на релятивистском волновом уравнении. В отличие от орбитального момента, спин всегда сохраняется (как внутреннее свойство).

Спин электрона определяется по общим законам квантовой теории. Аналогично орбитальному моменту, определенные значения в одном и том же состоянии могут иметь квадрат спина , (а значит и модуль спина Ms), и одна из его проекций Msz на произвольно выбранную ось Z.

…..s = 1/2,

(13.23)

где s — спиновое квантовое число, и

Msz=ћms, ms = ±s = +1/2 и -1/2.

(13.24)

Значение s = 1/2 получено из следующих соображений. Аналогично орбитальному моменту число возможных значений проекции ms, соответствующих данному значению s, равно 2s + 1. Экспериментально было установлено, что это число для электрона равно двум, т. е. 2s + 1 = 2, откуда s = 1/2.

Отметим, что спином обладает подавляющее большинство частиц. Например, у протона и нейтрона s = 1/2, а у фотона s = 1.

Поскольку спин электрона s = 1/2, а его проекции ms равны 1/2 и -1/2, то становится понятным, почему кратность вырождения n-го энергетического уровня атома водорода равна не n2, а 2п2.

Полный механический момент электрона. С механическими моментами (орбитальным и спиновым) связаны магнитные моменты. В результате их взаимодействия происходит сложение моментов — возникает полный момент импульса электрона. Символически это записывают так: Мj = Mℓ+ Ms, где j - квантовое число полного момента.

Правила сложения угловых моментов в квантовой теории не зависят от того, являются ли моменты орбитальными или спиновыми. Поэтому полный момент электрона Мj определяется формулой, аналогичной формулам для орбитального и спинового моментов, а именно

 j = l + s = l ± 1/2.

(13.25)

Таким образом, квантовое число j является полуцелым, поскольку l — целое, причем, если l = 0, то j = s = 1/2. Кроме того, j всегда положительно.

В связи со знаками ± перед спином s в (13.25) условно принято говорить, что спиновый момент либо «сонаправлен» с орбитальным моментом (знак +), либо они взаимно противоположны «по направлению» (знак -).

Возможные проекции момента (13.25) на ось Z определяются как

М jz=ћтj, тj = j, j - 1, j – 2, …,-j,

(13.26)

т. е. при данном j возможны 2j + 1 квантовых состояний, отличающихся значениями mj. Например, при l = 1

j1 = 1 + 1/2 = 3/2, mj = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2,

j2 = 1- 1/2 = 1/2, тj = 1/2, -1/2.

Если же l = 0, то весь момент импульса чисто спиновый.

Выпишем собственные значения угловых моментов (орбитального, спинового и полного) и их проекций на ось Z в одной таблице.

 Таблица 13.1

  l = 0, 1, 2, …

Mℓz = ћml, ml = 0, ± 1, ± 2, …, ± l.

(13.27)

  s = 1/2,

Msz = ћms, ms = + 1/2, - 1/2.

(13.28)

  j = l ± s = l ± 1/2,

Mjz = ћmj, mj = j, j-1, …, - j.

(13.29)

Мультиплетность. Уровни энергии (термы) принято обозначать символом, определяющим значения квантовых чисел l , s и j, т. е. по существу полностью «структуру» углового момента электрона. Символически это записывают так:

2s+1(L)j ,

(13.30)

где L — символ состояния, определяемого квантовым числом l — в соответствии с (13.10), только большими латинскими буквами: S (для l = 0) , P (для l = 1),D (для l = 2) и т. д.; 2s + 1 — так называемая мультиплетность; j = l + s, |l – s| в соответствии с (13.29).

Для атомов щелочных металлов дублетное расщепление уровней для легких атомов не более 10-5 эВ, для тяжелых же может достигать десятых долей эВ. Расстояния между «основными» уровнями порядка 1 эВ.

Правило отбора. Для квантового числа j действует правило отбора, согласно которому возможны только те переходы между уровнями, при которых

Δj = 0, ± 1.

(13.31)

Постоянная тонкой структуры Обусловленное спином расщепление энергетических уровней является релятивистским эффектом. Релятивистская квантовая теория дает для расстояния между уровнями тонкой структуры 2p1/2 и 2p3/2 водородного атома значение

(13.32)

Здесь Ei – энергия ионизации водородного атома, α – безразмерная величина, называемая постоянной тонкой структуры. Она определяется выражением

(13.33)

Постоянная тонкой структуры принадлежит к числу фундаментальных констант природы и её также называют константой связи электрона с электромагнитным полем.


Ядерная физика