Курсовая
Информатика
Математика
Живопись
Физика
Сопромат
Интеграл
Практика

Аварии

Энергетика
Типовик
Черчение
Реактор
БРЕСТ-2400
Электротехника
Дифуры

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Решим эти задачи двумя способами: пример 1- аналитически, пример 3- графически.

В задаче 1 имеем 4 уравнения и 6 неизвестных, т.е. 2 степени свободы. Чтобы описать пространство решений, надо выбрать 2 независимые (свободные) переменные и через них выразить остальные переменные. Например, в качестве СВОБОДНЫХ возьмем х1 и х4. Неизвестные х2, х3, х5, х6 называются БАЗИСНЫМИ. Выразим их через свободные переменные и подставим все в целевую функцию:

  х2= 20 -х1; х3= 20 – х4; х5= 10 - х1 + х4; х6= 10 + х1 – х4;

f = 7х1 + 3(20 - х1) + 5(20-х4) + 9х4 + 8(10 - х1 +х4) + 6(10+ х1 – х4) = 300 + 2х1 + 6х4.

Таким образом, мы нашли общее решение системы уравнений. При этом х1 и х4- свободные переменные, они могут принимать любые неотрицательные значения. Среди всех решений надо выбрать оптимальное. Т.к. f =300 + 2х1 + 6х3, и должно быть хi³0, то ясно, что в оптимальном решении х1=0,х4=0. Тогда х2 = 20, х3 =20, х5 = 10, х6 = 10, f=300.

Графический метод решения задачи линейного программирования.

Решим ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ пример 3. Его удобно применять, когда в задаче 2 (реже 3) неизвестных. В этом случае сначала строим область допустимых решений и в результате получаем многоугольник (многогранник). Затем можно действовать двумя способами. Во-первых, можно найти значения целевой функции в каждой из вершин и выбрать наименьшее. Во-вторых, можно нарисовать линии уровня целевой функции (это будут параллельные прямые) и с помощью них определить нужную нам вершину.

  или 

Надо найти точку, в которой целевая функция имеет максимум. Для этого необходимо начертить график функции f = 0, т.е. 7х1 + 5х2 = 0 и сдвигать его параллельно в сторону увеличения функции f до тех пор, пока он все еще будет пересекать наш многоугольник (пересекаться с областью решений). Итак, самое оптимальное решение - точка (2;4), f = 340.

Двойственная задача

В матричном виде задача, двойственная к задаче линейного программирования в общем виде, имеет вид: АtY ³ C, Y ³ 0, V=(b,y) -> max.

Если взять двойственную задачу к двойственной, то получим исходную задачу. (Здесь Аt - транспонированная матрица).

ТЕОРЕМА. Задача линейного программирования корректна тогда и только тогда, когда исходная и двойственная задачи являются допустимыми. При этом минимум целевой функции в исходной задаче равен максимуму целевой функции в задаче двойственной.

Эта теорема позволяет вместо корректности задачи проверять два раза допустимость, что бывает заметно проще. Кроме того, важно, что ответы в двойственных задачах совпадают. Изредка, например когда имеем два неравенства со многими неизвестными, данная теорема позволяет перейти к случаю двух переменных и решать задачу графическим способом.

Напишем к задаче 2 двойственную:

, поэтому двойственная задача имеет вид:

и в ней ищется максимум функции V = 200y1 + 130y2 + 75y3

Упражнение: написать двойственную задачу к задаче 3.

Потеря точности в методе Лобачевского–Греффе

Коэффициенты многочлена в методе Лобачевского–Греффе растут неодинаково быстро и вскоре становятся величинами разного порядка.

Число преобразований многочлена обычно бывает невелико, и точность коэффициентов последнего многочлена по сравнению с точностью коэффициентов первого многочлена уменьшается за счет ошибок округления не более чем на две-три значащие цифры.

Разность между корнем последнего многочлена, взятым с обратным знаком, и соответствующей степенью корня исходного многочлена не превосходит, очевидно, безусловной погрешности корня последнего многочлена, обусловленной погрешностью округления.

Относительная безусловная погрешность корня довольно часто бывает величиной примерно такого же порядка, как и погрешность коэффициентов многочлена. Таким образом, относительная погрешность корня последнего многочлена лишь на несколько порядков превосходит погрешность округления.

При извлечении корня степени  относительная погрешность уменьшается в  раз, так что относительная погрешность найденного по методу Лобачевского–Греффе модуля корня оказывается величиной такого же порядка, что и погрешность округления. Таким образом метод Лобачевского–Греффе для однократных корней дает очень малую потерю точности.

Другие методы решения алгебраических уравнений с комплексными корнями

Иногда для нахождения корней уравнения целесообразно использовать другие методы вычислений. В ряде случаев, например при слабой сходимости метода, к найденному с меньшей точностью корню применяются методы уточнения корней. В данном разделе рассмотрены некоторые из существующих методов, которые обладают более простой чем в методе Лобачевского–Греффе вычислительной схемой.


Ядерная физика

Машиностроительное черчение
Инженерная графика
Лабораторное занятие 
Электротехника