Курсовая
Информатика
Математика
Живопись
Физика
Сопромат
Интеграл
Практика

Аварии

Энергетика
Типовик
Черчение
Реактор
БРЕСТ-2400
Электротехника
Дифуры

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Упражнение 7. Найти наименьшее n, начиная с которого точность метода золотого сечения больше точности метода деления отрезка пополам в 2 раза, в 10 раз.

Упражнение 8. Написать алгоритм описанного метода.

Сравнение методов одномерной оптимизации показывает, что в большинстве случаев для гладких  метод квадратичной интерполяции дает заметный выигрыш во времени. При сложных метод золотого сечения может давать существенный выигрыш во времени. Метод квадратичной интерполяции удобен тем, что обнаруживает как максимумы, так и минимумы , причем даже за пределами первоначально заданного интервала поиска.

Численные методы поиска экстремумов функций многих переменных

Наибольшие трудности поиска минимума функции возникают, когда размерность n вектора x велика. Поэтому важнейшей является проблема уменьшения размерности вектора минимизируемой функции на этапе построения математической модели решаемой задачи. В модели следует сохранить только те переменные , которые сильнее других влияют на изменение рассматриваемой функции.

Метод координатного спуска

Идея всех методов спуска состоит в том, чтобы исходя из начального приближения - точки

Î Dn (Dn - область определения функции) перейти в следующую точку

Î D так, чтобы значение  уменьшилось, т.е. .

Рассматриваем функцию при фиксированных значениях как функцию одной переменной . Находим одним из описанных выше методов . Значение  доставляющий минимум обозначаем . £

После нахождения точки минимума по координате  переходим к нахождению минимума по координате  от новой точки и так далее по всем оставшимся координатам.

Для гладких функций погрешность вычислений в данном методе складывается из погрешностей при вычислении минимума по каждой переменной, хотя для некоторых функций специального вида погрешность может быть и очень велика.

Центральным звеном рассматриваемого алгоритма является поиск минимума функции одной переменной. Методы применимые к этому случаю рассмотрены выше.

Квадрирование корней

Многочлен (1.3) запишем в следующем виде

И умножим его на многочлен вида

Тогда получим

Сделав замену  и умножив на , будет иметь

. (1.21)

Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена  (1.3) следующим соотношением

.

Следовательно, интересующее нас уравнение есть

,

коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)

  , (1.22)

где предполагается, что  при .

Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3) , получим многочлен

, (1.23)

в котором , , и т.д.

При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система

  (1.24)

Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.

Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен

,

для которого также выполнена система (1.24) при .

Так как в силу формулы (1.22)

, (1.25)

то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов  должны быть в принятой точности равны квадратам коэффициентов . Выполнение этих равенств и будет свидетельствовать о том, что необходимое значение k уже было достигнуто на k-м шаге.

Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.

Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле

 (1.26)

Знак корня можно определить грубой прикидкой, подставив значения   и  в уравнение (1.3).


Ядерная физика

Машиностроительное черчение
Инженерная графика
Лабораторное занятие 
Электротехника