Многочлен Лагранжа Метод Симпсона Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Ручные вычисления по методу Гаусс Компакт-метод Метод равномерного поиска Градиентный метод Математическая статистика

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Метод Симпсона.

Шаблон содержит 3 узла, которые расположены по краям и в середине отрезка [di,di+1]; интерполяционный многочлен имеет вторую степень. Геометрический смысл метода в том, что заменяем график функции на параболу, пересекающуюся с ним в концах и середине отрезка, а площадь криволинейной трапеции, соответственно, - на площадь под параболой.

Для того, чтобы вычислить значения весов мы произведем сдвиг отрезка длины h к началу координат (замена переменной, при которой интегралы от вспомогательных многочленов Лагранжа не изменяются) и будем считать, что узлы – Х0=-0.5h, X1=0, X2=0.5h. Тогда вспомогательные многочлены Лагранжа имеют вид:

Откуда, интегрируя по отрезку [-h/2,h/2], получаем:

Итак, формула для шаблонаШАБЛОНА метода Симпсона имеет вид:

Складывая получившиеся отрезках [di,di+1] результаты, имеем:

Упражнение 3.4.Написать на одном из языков программу численного интегрирования каждым из трех методов.

Пример. Вычислим  методом прямоугольников, трапеций и Симпсона при n=2 и сравним погрешности вычислений (точный ответ равен 6.4).

В методе прямоугольников имеем: I»h(f(0+0.5h)+f(0+1.5h))=f(0.5)+f(1.5)=82/16.

При этом получаем погрешность 6.4 - 5.125 =1.275

В методе Трапеций имеем: I»h/2(f(0)+f(2))+h*f(0+h)=1/2*(0+16)+f(1)=8+1=9.

Погрешность получается равной 2.6.

В методе Симпсона имеем: I»h/6(f(0)+f(2))+h/3*f(0+h)+2h/3*(f(0+0.5h)+f(0+1.5h)) =16/6+1/3+2/3(82/16)=3+41/12»6.417

Погрешность получается равной 6.417-6.4=0.017

На многих других примерах можно столь же наглядно убедиться, сколь велико преимущество метода Симпсона над методами прямоугольников и трапеций в смысле точности результата. В то же время организация вычислений весьма проста, что и обуславливает широкое применение на практике этого метода.

Теоретические оценки погрешности для представленных трех методов следующие:

для метода прямоугольников |r| £ M2*(b-a)*h2/24;

для метода трапеций |r| £ M2*(b-a)*h2/12;

для метода Симпсона |r| £ M4*(b-a)*h4/180.

,где М2 и М4 –соответственно максимумы модуля второй и четвертой производных интегрируемой функции на отрезке интегрирования. Однако в реальных задачах, как правило, бывает затруднительно или совсем невозможно пользоваться этими формулами, поскольку значение максимумов производных трудно, а порой и невозможно вычислить или даже оценить.

Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений

Идея метода

Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).

Предположим, что

, (1.15)

т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:

, (1.16)

где  и – малая величина. Такие корни называются отделенными.

Далее из системы (1.7) соотношений между корнями и коэффициентами уравнения (1.3) получаем:

  (1.17)

где , ,…,  – малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в системе (1.17) величинами  , будем иметь приближенные соотношения

  (1.18)

Откуда находим корни

  (1.19)

Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины  в соотношениях (1.16)

Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение

,  (1.20)

корнями которого , ,…,  являются m-e степени корней , ,…,  уравнения (1.3).

Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни , ,…,  уравнения (1.20) будут отделенными, т.к.

  при .

Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени

Метод двойного счета. Задача 3.1. Доказать, что методы прямоугольников (с узлом в середине отрезка) и трапеций дают точный результат на всех линейных функциях, но не на всех квадратичных функциях, а метод Симпсона дает точный результат на всех многочленах третьей степени, но не четвертой.

Постановка задачи: С помощью ЭВМ вычислить интеграл функции на указанном отрезке методами прямоугольников, трапеций(n=50) и Симпсона(n=20 и n=40). Произвести оценку точности ответа методом двойного счета.

Метод Пикара.Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, на котором мы сейчас остановимся.

.


Москитные сетки красногорск на сайте www.okna-remont-setki.ru. | Купить пиявок в москве с доставкой тут.
Законы распределения случайных величин