Примеры решения задач типового расчета

Пусть задан двукратный интеграл     . Если область интегрирования D (рис. 15), задаваемая неравенствами     является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Здесь  α, β   - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D ;
x = ψ1(y)  - левая часть границы;
x = ψ2(y)    - правая часть границы области D .

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 15

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области     равна

 

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D - правильная в полярных координатах, т.е. прямая φ = c, (c - const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами  β ≤ φ ≤ α,   ρ1(φ) ≤ ρρ2(φ).

Тогда двойной интеграл     функции f(x,y) , заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интегра- ла в полярных координатах:

.

 

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области         в полярных координатах находится так:

    .

 

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y). , где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :

.

Системы координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM ( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

Поверхностью 2–го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

где A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

Цилиндрические и сферические координаты определяются точкой O , исходящим из нее лучом l и единичным вектором n , перпендикулярным l (рис. 2).

Проведем через точку O перпендикулярно вектору n плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M' .

В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ , j и z , где ρ и j — полярные координаты точки M' , а z — проекция вектора OM на вектор n .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор n — с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты ρ , j и z по формулам

x = ρcosj,  y = ρsinj,  z = z.

В сферических координатах положениеточки M определяется числами ρ , j и θ , где ρ = |OM| , j — полярный угол точки M' , а θ — угол между векторами n и OM .Мы будем отсчитывать угол θ от вектора n по направлению к вектору OM . Угол θ принимает значения от 0 до π .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор n — с положительной частью оси аппликат (рис. 4), то

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее сферические координаты ρ , j и θ по формулам

x = ρcosjsinθ,  y = ρsinjsinθ,  z = ρcosθ