Примеры решения задач типового расчета

Определение. Квадратичной формой  переменных ,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида

  ,

где - числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Определение. Матрицей квадратичной формы  переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэфициента при  в квадратичной форме.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде  где матрица квадратичной формы и . Повторные пределы Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)

Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно

.,

где не все коэффициенты  равны нулю.

Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Определение. Квадратичная форма  называется положительно

(отрицательно) определённой, если  при всех

108

 и положительно (отрицательно) полуопределённой,если  при всех .

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма  была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы [an error occurred while processing this directive]

Здесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма  была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:

Примеры

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

 

Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата: 

  .

Сделаем в этом выражении замену  и подставим его в квадратичную форму. Получим:

 

Далее выделим в  члены, содержащие  и проделаем с ними анало-гичную процедуру: 

   

Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда

109

канонический вид квадратичной формы есть 

 .

Соответствующее преобразование от переменных  к переменным  имеет вид:

 .

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

 

Решение. В исходном базисе  матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

 .

Эта матрица будет определять квадратичную форму  канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их.

Характеристическое уравнение для матрицы  имеет вид

 .

Откуда следует

  и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

 .

Для случая  имеем:

 

110

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

 Как видно из данной системы, величина  принимает произвольные значения, а величины  связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

 

  Эти векторы ортогональны:  (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор  к тому же и нормирован. Откуда следует - . Нормируем теперь вектор

  .

 Для случая  уравнение, определяющее собственный вектор есть

  

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например,  Отнормируем этот вектор: .

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования: 

 

111

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

 .

При этом переменные  связаны с переменными  соотношением

  или

 

 

3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

 .

 Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .

Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

 .

Его корни таковы: .

Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора , соответствующего 

, имеем 

 

112

   

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

 .

Анологичная процедура для собственного вектора даёт:  

Откуда:

 .

После нормировки полученных векторов имеем:

 .

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму  к каноническому виду , есть

 

 Связь старых  и новых  координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 

 

113 

Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат ,которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .