Примеры решения задач типового расчета

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM ( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной. Лекции по физике Механические и электромагнитные колебания Гармонические колебания и их характеристики Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д.

Поверхностью 2–го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

где A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

Цилиндрические и сферические координаты определяются точкой O , исходящим из нее лучом l и единичным вектором n , перпендикулярным l (рис. 2).

Проведем через точку O перпендикулярно вектору n плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M' .

В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ , j и z , где ρ и j — полярные координаты точки M' , а z — проекция вектора OM на вектор n .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор n — с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты ρ , j и z по формулам

x = ρcosj,  y = ρsinj,  z = z.

В сферических координатах положениеточки M определяется числами ρ , j и θ , где ρ = |OM| , j — полярный угол точки M' , а θ — угол между векторами n и OM .Мы будем отсчитывать угол θ от вектора n по направлению к вектору OM . Угол θ принимает значения от 0 до π .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор n — с положительной частью оси аппликат (рис. 4), то

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее сферические координаты ρ , j и θ по формулам

x = ρcosjsinθ,  y = ρsinjsinθ,  z = ρcosθ