Примеры решения задач типового расчета

Пусть задан двукратный интеграл     . Если область интегрирования D (рис. 15), задаваемая неравенствами     является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Здесь  α, β   - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D ;
x = ψ1(y)  - левая часть границы;
x = ψ2(y)    - правая часть границы области D .

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 15

 

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области     равна

 

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D - правильная в полярных координатах, т.е. прямая φ = c, (c - const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами  β ≤ φ ≤ α,   ρ1(φ) ≤ ρρ2(φ).

Тогда двойной интеграл     функции f(x,y) , заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интегра- ла в полярных координатах:

.

 

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области         в полярных координатах находится так:

    .

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y). , где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :

.