Примеры решения задач типового расчета

Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом  между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом  может изменятся то 0 до а  - от 0 до .

 

  Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем

Отсюда

 (**)

Разобьем область  на частичные области , тремя системами координатных поверхностей:  которыми будут

  соответственно сферы с центром в на­чале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпада­ющими с одной из полуосей Оz. Частичными областями  служат «шестигранники» (рис. 7). От­бросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоу­гольный параллелепипед с изме­рениями, равными:  по направ­лению полярного радиуса,  по направлению меридиана,  по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение 

Заменив в тройном интеграле   по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование  - шар с центром в начале коор­динат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегриро­вания следует расставить так:

Если  - шар, то нужно положить

 

A) Пример.

 

  Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим