Примеры решения задач типового расчета

Отнесём область  к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами  ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декарто­выми и цилиндрическими ко­ординатами точки М, именно:

 (*)

 

  Рис.5

Разобьем область  на частичные области  тремя системами координатных поверхностей:  которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями  служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла   к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в вы­ражении подынтегральной функции   переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности,  то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по  и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В част­ности, если областью интегрирования служит внутренность ци­линдра  то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования: