Примеры решения задач типового расчета

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.

Решение:

Первая поверхность – параболоид вращения, полученный вращением параболы z=10x2+1, лежащей на плоскости xz. Вторая поверхность z=1-20y,

  является плоскостью, параллельной оси ох. Тело W, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис. 19.а).

Рис.19.

 

 

 

 

 

Тело W снизу ограничено поверхностью z=10(x2+y2)+1,  сверху – поверхностью z=1-20y. Найдем область D в плоскости ху , на которую проектируется тело W. Для этого решим систему

 

 ìz=1-20y;

  í

  îz=10(x2+y2)+1

 

Получим 10(х22)=-20Þх2+(у+1)2=1, т.е. D есть круг радиусом 1 с центром в точке (0, 1). В полярных координатах уравнение окружности х2+(у+1)2=1имеет вид r =-2 sinj , и вэтих координатах D записывается в виде D:{-p£ j £ 0; 0£ r £-2sinj}. Таким образом,

Ответ: VW=5p