Примеры решения задач типового расчета

Найти объем тела W, заданного, ограничивающими его поверхностями .

Решение:

Возведя в квадрат обе части первого уравнения и переписав его в виде x2+y2+z2=36, находим, что первое уравнение есть уравнение верхней половины сферы с центром в начале координат и радиусом равным 6 (верхней потому что перед корнем стоит знак «+»). Второе уравнение приводится к виду z2=(x2+y2)/3. Это есть уравнение конуса, образованного вращением прямой  вокруг оси oz. Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис. 18.а).

Рис.18.


Как известно объем тела W находится по формуле

Интеграл вычислим двумя способами.

Первый способ.

Тело W снизу ограничено поверхностью , сверху поверхностью . Найдем область D в плоскости ху , на которую проектируется тело W . Для этого решим систему

Получим х22=27 , т.е. D есть круг радиусом  с центром (0; 0).

Полученный интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Область D записывается в виде . Следовательно,

Второй способ.

Для вычисления тройного интеграла перейдем к сферической системе координат. Напомним, что если тело Е записано в виде E:{ r1£r£r2; j1£j£j2; j1£j£j2 } , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по Е вычисляется по формуле

Порядок интегрирования здесь может быть и любым другим.

В сферической системе координат уравнение сферы x2+y2+z2=6 имеет вид r = 6. Прямая  составляет угол  с осью oz , поэтому уравнение конуса  в сферической системе координат примет вид . Тело W записывается в виде W:{0 £ r £ 6; 0 £ j  £ }. Поэтому

Ответ: VW=72p.