Примеры решения задач типового расчета

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х22+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Решение:

Преобразуем уравнение х22+2х=0 к виду (х+1)22=1. Это есть уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служит окружность (х+1)22=1 с центром в точке (-1, 0)и радиусом, равным 1. Второе уравнение z=25/4 –y2 - есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси ох , направляющей служит парабола z=25/4 –y2 на плоскости yz . Третья поверхность z=0 есть плоскость ху .Построим эти поверхности (рис. 16.а).

Рис.16.

 

 


Тело W снизу ограничено поверхностью z=0, сверху – поверхностью z=25/4 –y2, и проекция W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела. Поэтому

Полученный интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Уравнение х22+2х=0 в этой системе имеет вид r =-2cosj. Область D записывается в виде . Таким образом,

Ответ: VW=6p