Примеры решения задач типового расчета

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

D: x2+y2=4; : x2+y2=9;  x=0; y=0; (x £ 0; y ³ 0); M=(y-2x)/(x2+y2)

Решение :

Область D ограничена окружностями x2+y2=4 и x2+y2=9 с центрами в начале координат и радиусами, равными соответственно 2 и3, и осями координат. Из четырех таких областей надо взять ту, в которой выполняются условия x £ 0; y ³ 0 (заштрихованная область рис. 11)

Рис.11.

 

Масса плоской пластины равна двойному интегралу от поверхностной плотности:

Вычисление данного интеграла удобнее выполнять в полярных координатах. Область D записывается в виде  .

Поэтому

Ответ: MD=3