Неопределенный интеграл.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных
Интегрирование или нахождение неопределенного интеграла связано с нахождением первообразной функции. Для некоторых подынтегральных функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства, значения неопределенных интегралов большинства основных элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Таблица неопределенных интегралов является прямым следствием таблицы производных основных элементарных функций, правил дифференцирования и свойств дифференциала. Знание и умение пользоваться этими понятиями необходимо для освоения темы.
Таблица основных неопределенных интегралов
Интеграл
Первообразная
Интеграл
Первообразная
1
-
9
ex + C
2
10
sinx + C
3
11
-cosx + C
4
12
tgx + C
5
13
-ctgx + C
6
ln
14
arcsin
+ C
7
ln½cosx½+C
15
8
ln½sinx½+ C
16
Непосредственное интегрирование.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла
. На основе известной формулы дифференцирования
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и неопределенных интегралов.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Пример1:
Внести под знак дифференциала можно элементарные функции и проверить результат с помощью дифференцирования. Рассмотрим следующие примеры этой операции:
cosxdx = d(sinx) sinxdx = -dcosx xdx = d(x2/2) x2dx = d(x3/3)
exdx = d(ex) e-xdx = -d(e-x)
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Этот прием позволяет значительно упростить преобразование подынтегрального выражения для приведения его к табличному виду. В представленных ниже примерах в подынтегральной функции выделяется ее часть, которая при внесении этой части под знак интеграла позволяет увидеть табличный интеграл::
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Обратите внимание на процедуру замены переменной интегрирования dx→dt. Это действие можно опустить и выполнять интегрирование в уме.
|