Вычисление криволинейного интеграла Неопределенный интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Неопределенный интеграл.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных

Интегрирование или нахождение неопределенного интеграла связано с нахождением первообразной функции. Для некоторых подынтегральных функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

 Для удобства, значения неопределенных интегралов большинства основных элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Таблица неопределенных интегралов является прямым следствием таблицы производных основных элементарных функций, правил дифференцирования и свойств дифференциала. Знание  и умение пользоваться этими понятиями необходимо для освоения темы.

 

Таблица основных неопределенных интегралов

 Интеграл

 Первообразная

 Интеграл

 Первообразная 

1

 -

9

 ex + C

2

 

 

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

 ln½cosx½+C

15

8

 ln½sinx½+ C 

16

 

 Непосредственное интегрирование.

 Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

 Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и неопределенных интегралов.

 Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Пример1: 

 

Внести под знак дифференциала можно элементарные функции и проверить результат с помощью дифференцирования. Рассмотрим следующие примеры этой операции:

 cosxdx = d(sinx) sinxdx = -dcosx xdx = d(x2/2) x2dx = d(x3/3)

 exdx = d(ex) e-xdx = -d(e-x)  

    

  

Этот прием позволяет значительно упростить преобразование подынтегрального выражения для приведения его к табличному виду. В представленных ниже примерах в подынтегральной функции выделяется ее часть, которая при внесении этой части под знак интеграла позволяет увидеть табличный интеграл::

 Пример 2.

 Пример 3.

 Пример 4.

 Пример 5.

Обратите внимание на процедуру замены переменной интегрирования dx→dt. Это действие можно опустить и выполнять интегрирование в уме.