Примеры решения задач по электротехнике, физике

Живопись
Практика

Аварии

Черчение
Дифуры

Пример 9. Определить количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=qВ; 2) Т2=2К. Характеристическую температуру Дебая qD для NaCI принять равной 320 К. 

Решение. Количество теплоты DQ, подводимое для нагревания тела от температуры t1 до t2, Может быть вычислено по формуле

,  (1)

где С - теплоемкость тела (системы)

Теплоемкость тела связана с молярной теплоёмкостью Cm соотношением С=(m/М) Cm, где m-масса тела; М-молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим

.  (2)

В общем случае Cm есть функция температуры, поэтому за знак Интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т, можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур DT постоянной и равной Cm(Т1). Ввиду этого формула (2) примет вид

DQ=(m/M)Cm(Т1)DT. (3)

Молярная теплоёмкость Cm(Т1) в теории Дебая выражается формулой

.

В первом случае при Т1=q интеграл

и, следовательно,

Cm =2,87R.

Подставляя это значение Cm в формулу (3),получим

DQ=2,87(m/M)RDT. (4)

Произведя вычисление по формуле (4), найдём

DQ=16,3Дж.

Во втором случае (Т<<qD) нахождение DQ облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в формуле (2)

Используя выражение предельного закона Дебая

,

получим

 

Выполним интегрирование:

. (5)

С учетом того, что Т2+DТ=2Т2, выражение (5) примет вид

,

или

.

Подставив в последнюю формулу значения величин p, m, M, R, Т и qВ произведя вычисления, найдём DQ=1,22мДж.

Пример 10. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.

Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах Т, когда Т<<θD, где θD – характеристическая температура Дебая, пропорциональна кубу термодинамической температуры,

.  (1)

При высоких температурах, когда Т>>θD, теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти

С=3R=25 Дж/(моль∙К). (2)

Так как при Т1=4 К теплоемкость аргона С1=0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 3R=25 Дж/(моль∙К), выполняется закон Т3 Дебая, согласно которому

, , (3)

или

.  (4)

Подставляя числовые данные в (4), получим

С2=0,022 Дж/(моль∙К).

Пример 11. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фотонов такой же частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К.

Решение. Дебаевская температура

,  (1)

где νmax – максимальная частота колебаний кристаллической решетки, h=6,625∙10-34 Дж∙с, k=1,38∙10-23Дж/К – постоянная Больцмана.

Из (1) найдем

. (2)

Подставляя в (2) числовые значения, получаем

.

Среднее число фотонов с энергией εi:

.  (3)

Энергия фотона, соответствующая частоте колебаний νmax,

εi=h∙ν=k∙θD.  (4)

Подставляя (4) в (3),

,

.

Ядерная физика