Лабораторные работы по физики

Изучение движения тела по окружности под действием сил упругости и тяжести
Изучение закона сохранения механической энергии
Наблюдение зависимости скорости диффузии в жидкости от температуры
Проверка изотермического процесса
Определение относительной влажности воздуха
Определение мощности лампочки накаливания
Наблюдение и анализ явления электромагнитной индукции
Определение показателя преломления стекла
Наблюдение и объяснение полного отражения света
Определение световой волны света с помощью дифракционной решетки
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

МАЯТНИК ОБЕРБЕКА

Цель: познакомиться с динамическими характеристиками вращательного движения твердого тела, а также с использованием основного закона динамики вращательного движения.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, мерительная линейка, штангенциркуль.

Краткие теоретические сведения

Момент инерции маятника в данной работе определяется из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Динамическими характеристиками вращательного движения тела являются: момент инерции тела относительно оси, момент силы относительно оси, момент импульса тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно оси

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.2.1), которую будем называть осью (прямая ОО может быть и вне тела).

Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массамиm, m,...,m, находящиеся от оси на расстоянии соответственно r, r,... r,... . Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

DIi = Dmiri2. (2.1)

 Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (ОО) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = . (2.2)

Как видно, момент инерции тела есть величина аддитивная - момент инерции всего тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае  = . Измеряется момент инерции в кг×м.

Так как

 Dmi = r DVi  (2.3)

где r - плотность вещества;  DV- объем - i - го участка, то

I =

или, переходя к бесконечно малым элементам,

I =  (2.4)

Формулу (2.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно образующей цилиндра, эта формула дает

,

где m - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычисления МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела Iс относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = Iс+ m d2. (2.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила . Примем для простоты, что сила  лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис. 2.2,a), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 2.2,a, А - точка приложения силы , О¢ - точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила; - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О¢; О¢B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется расстояние от оси до линии, вдоль которой действует сила; a - угол между векторами и .

Моментом силы  относительно оси ОО называется вектор, определяемый равенством

 (2.6)

Модуль этого вектора M = FrSin a = Fb. Иногда поэтому говорят, что момент силы относительно оси - это произведение силы на ее плечо.

Если сила  направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие:  и  (рис. 2.2,б), т.е., , где  - составляющая, направленная параллельно оси ОO, а   лежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силы относительно оси ОО понимают вектор

.  (2.7)

В соответствии с выражениями (2.6) и (2.7) вектор  направлен вдоль оси (cм. рис.2.2, а).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью w. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами Dm1, Dm2,...Dmi,..., которые находятся от оси соответственно на расстояниях Dr1, Dr2,..., Dr3, ..., и вращаются по окружностям, имея линейные скорости v1, v2, ..., vi, ... Известно, что величина, равная  - есть импульс i- го участка. Моментом импульса i- го участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее, псевдовектор)

,  (2.8)

где - радиус-вектор, определяющий положение i-го участка относительно оси.

 Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор: 

 


,  (2.9) 

модуль которого  .

В соответствии с выражениями (2.8) и (2.9) векторы  и  направлены по оси вращения (рис.2.3). Легко показать, что момент импульса тела  относительно оси вращения и момент инерции I этого тела  относительно той же оси связаны соотношением

 .  (2.10)

Основной закон динамики для вращательного движения

В случае, если момент инерции тела в процессе вращения остается постоянным, “Основной закон...” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело: 

  . (2.11)

Описание установки

и метода определения момента инерции

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из втулки 1, четырех спиц 2, укрепленных на одном из концов втулки. На спицах размещены грузы 3. Последние могут перемещаться вдоль спиц и закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в виде шкива 4 , на который наматывается нить-шнур. К свободному концу шнура привязан груз 5. Под влиянием этого груза маятник приходит в ускоренное вращательное движение вокруг непо­д­вижной оси. Трение между втулкой маятника и осью практически сведено к нулю установленными на ось подшипниками. Для установки груза 5 на определенной высоте предусмотрен указатель 6. Исходным уравнением для определения момента инер­ции I маятника является уравнение (2.11), из которого следует, что

,  (2.12)

где M - вращающий момент, в данном случае - момент силы Т натяжения шнура, приложенной в точке k (рис.2.4);  - угловое ускорение маятника. Мо­мент силы берется отно­сительно  оси вращения, а потому

М = T R, (2.13)

где R - радиус шкива.

Сила T может быть найдена из второго закона Ньютона. записанного для груза 5:

ma = mg - T,

где m - масса груза 5; а - ускорение, с которым он опускается,  откуда

Т = m (g - а). (2.14)

Таким образом, подставляя (2.14) в (2.13), получим 

М = m(g - a) R. (2.15)

 Угловое ускорение e  связано с тангенциальным ускорением  точек на ободе колеса следующим соотношением:

.

В свою очередь,  совпадает с ускорением а, с которым опускается груз 5. Следовательно,

. (2.16)

Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания груза 5 на определенную высоту h. Действительно

,

а потому

. (2.17)

Подставляя (2.17) в (2.16) и (2.15), а затем в (2.12), получим

,  (2.18)

где d = 2 R - диаметр шкива.

Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (2.18) оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент инерции маятника можно вычислить как

. (2.19)

Формула (2.19) - рабочая формула для определения I из законов динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела - величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения можно представить в виде

I = Iв + Iш + 2Iсп + 4Iгр , (2.20)

где: Iв- момент инерции втулки; Iш - момент инерции шкива; Iсп- момент инерции спицы; I гр - момент инерции одного груза 3. (Разумеется, все эти моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси вращения.)

Так как 

где l и mпс- общая длина (рис.2.5) и масса двух спиц, а для случая, когда грузы 3 находятся на концах спиц,

Iгр = mгрl12

(груз - материальная точка), где l1- расстояние от центра масс груза до оси, а mгр - масса груза 3, то

 I = (Iв + Iш) + 1/6 × mпс l2 + 4 mгр l12. (2.21)

 

 

Порядок выполнения работы

1. Внесите в таблицу данные о массе груза 5 и ускорении свободного падения для широты г. Пермь (написаны на приборе).

2.Установите грузы 4 на концы спиц, причем так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.

3. Наматывая нить на шкив, установите груз 5 так, чтобы основание груза совпало с указателем 6 (см. рис.2.4), (следите за тем, чтобы витки нити на шкив наматывались в один слой, а нить намоталась бы с внешней стороны маятника). В этом положении маятник придерживайте рукой за одну из спиц.

4. Измерьте время t1 падения груза 5 с установленной высоты до пола. Для чего отпустите маятник без толчка, включив одновременно секундомер. Опыт повторите не менее 7 раз. Результаты занесите в таблицу.

5. Передвиньте грузы 3 примерно на середину спиц и установите их так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.

По п. 4 измерьте время t2 движения груза в этом случае. Результаты запишите в таблицу.

6. Измерьте диаметр шкива d и высоту падения груза h, оцените ошибки Dd и Dh в измерении этих величин. Данные занесите в таблицу.

7. Вычислите <> и <> и по формуле

< I > = ,

вычислите среднее значение моментов инерции  и  (для того и другого расположения грузов 3).

8. Определите абсолютную и относительную погрешности в определении момента инерции (только для  или только для , так как погрешности будут приблизительно одинаковыми).

Для чего:

 

 Номер опыта

t2

t1i - < t1>

(t1i - <t1>)2

Другие данные

1

2

3

.

.

.

7

g = … ±

d =… ±

h =… ±

a =

Dt1 =

=

=

S(t1i - < t1>)2=

а) задайтесь надежностью a (от 0,90 до 0,97), выберите коэффициент Стьюдента , оцените Dtпр для секундомера;

б) вычислите абсолютную погрешность в измерении времени:

  ;

в) вычислите относительную погрешность в определении I (например, I):

г) вычислите абсолютную погрешность:

;

д) результаты запишите в виде

,  при %,

a = ...

9. Сравнивая I  и I, сделайте вывод (касающийся связи величины момента инерции и расположения грузов 3).

10. Измерьте l и l(лучше 2l ) (см. рис.2.5) и по формуле (2.20) вычислите момент инерции как аддитивную величину I1ад (mиc, mгр и (Iв + Iш) должны быть даны). Значения всех этих величин внесите в тетрадь.

11. Найдите расхождение в процентах между значениями I1 и I1ад, полученными из опыта и вычисленными по формуле (2.21).

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси, моментом инерции твердого тела относительно оси?

В каких единицах измеряется момент инерции?

2. В чем состоит теорема Штейнера? Приведите пример ее использования.

3. Что называется моментом силы относительно оси? В каких единицах он измеряется?

4. Что такое плечо силы?

5. Что называется моментом импульса материальной точки относительно оси вращения, моментом импульса твердого тела относительно оси вращения? В каких единицах измеряется момент импульса?

6. Как связаны между собой момент импульса и момент инерции тела, вычисленные относительно оси вращения?

7. Маятник Обербека: устройство и теория метода определения его инерции.

8. Порядок выполнения работы. Выводы.